From (n+1)-level atom chains to n-dimensional noises

En physique quantique, l'espace d'état d'une chaîne dénombrable d'atomes à (n+1) niveaux devient, dans la limite continue, un espace de Fock de multiplicité n. De manière plus analytique, le produit tensoriel continu de copies de Cn+1 indexées par R+ est l'espace de Fock symétrique Γs(L2(R+;Cn)). Dans cet article, nous nous intéressons aux interprétations probabilistes de ces résultats. Nous montrons qu'ils correspondent à l'approximation de martingales normales n-dimensionnelles par des marches aléatoires obtuses, c'est-à-dire des marches aléatoires extémales de Rn dont les sauts prennent exactement n+1 valeurs différentes. Nous montrons que ces approximations sont contenues dans la convergence de la base canonique aji(p) de l'espace des matrices sur ⊗NCn+1 vers les processus de création, annihilation et nombre de l'espace de Fock.