Remarks on Fenchel–Moreau conjugate in the setting of consumer theory

In this manuscript we consider the conjugate notion focused from consumer theory as an interesting tool. According to us, conjugate notion remained undeveloped in economic theory because Fenchel's conjugate notion was introduced exclusively for proper convex lower semi continuous functions and convexity assumption is not natural in economic theory. Nevertheless, we introduce necessary and sufficient optimality conditions for consumer problem. Also, we consider a particular version of Fenchel–Moreau conjugate notion, for lower semi continuous functions recently introduced in the literature as a generalization of Fenchel's conjugate. Finally, we adapt it to closed functions in order to define a convex dual problem for consumer problem.

ResumoNeste artigo consideramos a noção de conjugada focalizada na teoria do consumidor como uma ferramenta interessante. Segundo nosso entendimento, a noção de conjugada ainda não foi desenvolvida na teoria econômica, porque a Conjugada de Fenchel foi introduzida exclusivamente para funções próprias, convexas semi continuas inferiormente e a convexidade não é uma hipóteses natural na teoria econômica. Mesmo assim, introduzimos condições necessárias e suficientes de otimalidade para o problema do consumidor. Finalmente, considerando uma versão particular da Conjugada de Fenchel-Moreau para funções semi continuas inferiores, recentemente introduzida na literatura como uma generalização da conjugada de Fenchel, e à adaptamos para as funções fechadas com o objetivo de definir um problema dual convexo para o problema do consumidor.