Fibrations in complete intersections of quadrics, Clifford algebras, derived categories, and rationality problems

Soit X→Y une fibration en intersections complètes de r quadriques. Nous étudions une décomposition semiorthogonale de la catégorie dérivée Db(X) grâce à des nouveaux outils catégoriques et algébriques : une théorie relative de la dualité homologique projective et l'invariance par équivalence de Morita de l'algèbre de Clifford paire sous un scindage hyperbolique. Avec des résultats sur les formes quadratiques, ceci nous permet d'étudier en détail les cas r=2 et X→Y de dimension relative 1, 2, ou 3. Dans ces cas, les fibres sont respectivement des courbes de genre 1, des surfaces de Del Pezzo de degré 4, ou des variétés de Fano de dimension 3. Dans les deux derniers cas, si Y=P1 et si le corps de base est algébriquement clos de caractéristique zero, les résultats developpés nous permettent de mettre en relation la rationalité de X et sa représentabilité catégorique.