A “lacuna” in Proposition 9 of Archimedes’ On the Sphere and the Cylinder, Book I

The proof of Proposition 9 in Archimedes’ On the Sphere and the Cylinder, Book i, contains an unproved statement that has been referred to as a “lacuna.” Most editors and experts in Archimedean texts have agreed on the existence of this gap and have offered different proofs for the statement, some of them with incomplete or even incorrect arguments. In this paper, I offer arguments of a mathematical, historical, and textual nature that show that it is not necessary to assume the presence of any gap in the text.

ResumLa demostració de la proposició 9 del llibre primer de Sobre l’esfera i el cilindre d’Arquimedes conté una afirmació sense prova, una “llacuna,” segons la denominació d’un historiador de la matemática. Hi ha un acord gairebé unànime entre la majoria d’editors d’Arquimedes i d’experts en la seva obra sobre l’existència d’aquest buit demostratiu. Molts, a més, han procurat omplir-lo amb demostracions variades, algunes d’incompletes o directament incorrectes. En aquest article presento arguments teòrics, històrics i textuals que permetrien justificar l’absència de prova i, per tant, tancar el debat sobre aquesta “llacuna.”