Existence en temps grand pour des équations de Klein–Gordon à petite donnée initiale sur une structure de Toeplitz

RésuméPour des non-linéarités qui rendent hamiltonienne lʼéquation de Klein–Gordon, nous obtenons un temps dʼexistence de lʼordre de C(r)ε−r, pour tout r⩾3, lorsque la condition initiale est de norme ε≪1 dans un espace de Sobolev de grand indice. Les variétés étudiées sont munies de structures de Toeplitz au sens de Boutet de Monvel et Guillemin, nous ferons une hypothèse de nature géométrique sur la périodicité du flot hamiltonien des opérateurs pseudo-différentiels de Toeplitz sous-jacents, cela permettra dʼavoir une localisation spectrale utile dans notre démarche. La méthode employée suit les travaux de Delort et Szeftel et de Bambusi, Delort, Grebert et Szeftel sur les sphères et les variétés de Zoll et consiste à effectuer des formes normales de Birkhoff à tout ordre. Le cadre des structures de Toeplitz nous permet de couvrir tous les cas précédemment étudiés (cercle, sphères et variétés de Zoll) mais aussi de nouvelles non-linéarités qui font intervenir des projecteurs de Szegö.

We prove a long time existence, of order C(r)ε−r for all r⩾3, for small solutions, of order ε≪1, in high Sobolev norms of Klein–Gordon equation with Hamiltonian nonlinearities. Manifolds studied are endowed with Toeplitz structures in the sense of Boutet de Monvel and Guillemin. We also make a geometric assumption about periodicity of the Toeplitz pseudo-differential operator Hamiltonian flow. This ensures a useful spectral localization. Our approach follows Delort and Szeftelʼs and Bambusi, Delort, Grebert and Szeftelʼs works on the spheres and Zoll manifolds and uses Birkhoff normal forms at any order. The context of Toeplitz structures allows us to generalize all the previous cases (torus, spheres and Zoll manifolds) and to deal with new linearities involving Szegö projectors.