Classes de Steinitz dʼextensions galoisiennes à groupe de Galois de centre non trivial

RésuméSoient k un corps de nombres et Cl(k) son groupe de classes. Soient Γ un groupe fini et |Γ| son ordre. Soit R(k,Γ) (resp. Rm(k,Γ)) le sous-ensemble de Cl(k) formé par les éléments qui sont réalisables par les classes de Steinitz dʼextensions galoisiennes (resp. galoisiennes et modérément ramifiées) de k, dont le groupe de Galois est isomorphe à Γ. Dans cet article, on suppose que Γ est réalisable comme groupe de Galois sur k dʼune extension galoisienne (resp. galoisienne modérée) – par exemple Γ résoluble – et le centre Z(Γ) de Γ est non trivial – par exemple Γ nilpotent non trivial. Pour chaque diviseur premier p de lʼordre de Z(Γ), on définit un entier naturel np. On montre que si le nombre de classes de k est premier avec np, alors R(k,Γ) (resp. Rm(k,Γ)) est le groupe Cl(k) tout entier. Par exemple, ce résultat sʼapplique à Γ nilpotent dʼordre pair, avec n2=|Γ|/2.

Let k be a number field and Cl(k) its class group. Let Γ be a finite group and |Γ| its order. Let R(k,Γ) (resp. Rm(k,Γ)) be the subset of Cl(k) consisting of those classes which are realizable as Steinitz classes of Galois extensions (resp. tamely ramified Galois extensions) of k with Galois group isomorphic to Γ. In the present article, we suppose that Γ is realizable as Galois group over k of a Galois extension (resp. tame Galois extension) – e.g. Γ solvable – and the center Z(Γ) of Γ is non-trivial – e.g. Γ nilpotent non-trivial. For each prime divisor p of the order of Z(Γ), we define a natural number np. We show that if the class number of k is prime to np, then R(k,Γ) (resp. Rm(k,Γ)) is the full group Cl(k). For instance, this result applies to a nilpotent group Γ having even order, with n2=|Γ|/2.