Self-similar solutions with fat tails for Smoluchowski's coagulation equation with singular kernels

We show the existence of self-similar solutions with fat tails for Smoluchowski's coagulation equation for homogeneous kernels satisfying C1(x−ayb+xby−a)≤K(x,y)≤C2(x−ayb+xby−a)C1(x−ayb+xby−a)≤K(x,y)≤C2(x−ayb+xby−a) with a>0a>0 and b<1b<1. This covers especially the case of Smoluchowski's classical kernel K(x,y)=(x1/3+y1/3)(x−1/3+y−1/3)K(x,y)=(x1/3+y1/3)(x−1/3+y−1/3).For the proof of existence we take a self-similar solution hεhε for a regularized kernel KεKε and pass to the limit ε→0ε→0 to obtain a solution for the original kernel K  . The main difficulty is to establish a uniform lower bound on hεhε. The basic idea for this is to consider the time-dependent problem and to choose a special test function that solves the dual problem.

RésuméNous démontrons l'existence des solutions auto-similaires avec queues lourdes pour l'équation de coagulation de Smoluchowski avec un noyau K   satisfaisant C1(x−ayb+xby−a)≤K(x,y)≤C2(x−ayb+xby−a)C1(x−ayb+xby−a)≤K(x,y)≤C2(x−ayb+xby−a) avec a>0a>0 et b<1b<1. Cela contient en particulier le noyau classique de Smoluchowski K(x,y)=(x1/3+y1/3)(x−1/3+y−1/3)K(x,y)=(x1/3+y1/3)(x−1/3+y−1/3).Pour la démonstration de l'existence nous prenons une solution auto-similaire hεhε pour un noyau régularisé KεKε et nous obtenons une solution pour le noyau original K   en passant à la limite ε→0ε→0. La difficulté principale consiste à établir une borne inférieure pour hεhε. La clé ici est de considérer le problème dépendant du temps et choisir une solution du problème dual comme fonction test dans la formulation faible de l'équation auto-similaire.