Large time behavior for nonlinear higher order convection–diffusion equations

We study the large time asymptotic behavior, in LpLp (1⩽p⩽∞1⩽p⩽∞), of higher derivatives Dγu(t)Dγu(t) of solutions of the nonlinear equationequation(1){ut+Tu=a⋅∇θ(ψ(u))onRn×(0,∞),u(0)=u0∈L1(Rn), where the integers n and θ are bigger than or equal to 1, a   is a constant vector in RpRp with p=(θ+n−1n−1)=(θ+n−1)!θ!(n−1)!. The function ψ   is a nonlinearity such that ψ∈Cθ(R)ψ∈Cθ(R) and ψ(0)=0ψ(0)=0, and TT is a higher order elliptic operator with nonsmooth bounded measurable coefficients on RnRn. We also establish faster decay when u0∈L1(Rn)∩L∞(Rn)u0∈L1(Rn)∩L∞(Rn).

RésuméNous étudions le comportement asymptotique, dans LpLp (1⩽p⩽∞1⩽p⩽∞), des dérivées d'ordre supérieur Dγu(t)Dγu(t) des solutions de l'équation nonlinéaire (1), où n∈N∗n∈N∗, θ∈N∗θ∈N∗ et a   est un vecteur constant de RpRp avec p=(θ+n−1n−1). La fonction ψ   est nonlinéaire vérifiant ψ∈Cθ(R)ψ∈Cθ(R) et ψ(0)=0ψ(0)=0, et TT est un opérateur elliptique d'ordre supérieur à coefficients peu réguliers dans RnRn. Nous étudions également le cas particulier où u0∈L1(Rn)∩L∞(Rn)u0∈L1(Rn)∩L∞(Rn).