On the Closing Lemma for planar piecewise smooth vector fields

A large number of papers deal with “Closing Lemmas” for CrCr-vector fields (and CrCr-diffeomorphisms). Here, we introduce this subject and formalize the terminology about nontrivially recurrent points and nonwandering points for the context of planar piecewise smooth vector fields. A global bifurcation analysis of a special family of piecewise smooth vector fields presenting a nonwandering set with nontrivial recurrence is performed. As a consequence, we are able to say that the Classical and the Improved Closing Lemmas are false for this scenario.

RésuméPlusieurs articles traitent le problème du lemme de fermeture pour des champs de vecteurs CrCr (et des CrCr-difféomorphismes). Dans cet article, on introduit ce problème et on formalise la terminologie des points récurrents non triviaux et, également celle des points non errants dans le contexte des champs de vecteurs planaires de classe CrCr par morceaux. On fait une analyse globale des bifurcations d'une famille de champs de vecteurs de classe CrCr par morceaux possédant un ensemble récurrent et non errant. Comme conséquence, on en déduit que le lemme de fermeture est faux dans notre contexte.