On a bilinear estimate in weak-Morrey spaces and uniqueness for Navier–Stokes equations

This paper is concerned with the continuity of the bilinear term B associated with the mild formulation of the Navier–Stokes equations. We provide a new proof for the continuity of B   in critical weak-Morrey spaces without using auxiliary norms of Besov type neither Kato time-weighted norms. As a byproduct, we reobtain the uniqueness of mild solutions in the class of continuous functions from [0,T)[0,T) to critical Morrey spaces. Our proof consists in estimates in block spaces (based on Lorentz spaces) that are preduals of Morrey–Lorentz spaces. For that, we need to obtain properties like interpolation of operators, duality, Hölder and Young type inequalities in such block spaces.

RésuméCet article traite de la continuité du terme bilinéaire B associée à la formulation « mild » des équations de Navier–Stokes. On fournit une nouvelle démonstration de la continuité de B   dans les espaces critiques de Morrey faibles sans utiliser des normes auxiliaires de type Besov ni des normes de Kato pondérées dans le temps. Comme sous-produit, on réobtient l'unicité de solutions « mild » dans la classe des fonctions continues de [0,T)[0,T) à valeurs dans les espaces critiques de Morrey. La démonstration consiste dans des estimations dans les espaces de blocs (basés sur les espaces de Lorentz) qui sont préduals d'espaces de Morrey–Lorentz. Pour cela on a besoin d'obtenir des propriétés telles que l'interpolation, la dualité et des inégalités de type Hölder et Young dans ces espaces de blocs.