Extrinsic Diophantine approximation on manifolds and fractals

Fix d∈Nd∈N, and let S⊆RdS⊆Rd be either a real-analytic manifold or the limit set of an iterated function system (for example, S could be the Cantor set or the von Koch snowflake). An extrinsic   Diophantine approximation to a point x∈Sx∈S is a rational point p/qp/q close to x which lies outside of S. These approximations correspond to a question asked by K. Mahler (1984) regarding the Cantor set. Our main result is an extrinsic analogue of Dirichlet's theorem. Specifically, we prove that if S   does not contain a line segment, then for every x∈S∖Qdx∈S∖Qd, there exists C>0C>0 such that infinitely many vectors p/q∈Qd∖Sp/q∈Qd∖S satisfy ‖x−p/q‖

RésuméOn fixe d∈Nd∈N, and S⊆RdS⊆Rd une variété analytique réelle ou bien un système de fonction itérée (par exemple S   pourrait être l'ensemble de Cantor ou le flocon de neige de Von Koch). Une approximation diophantienne extrinsèque d'un point rationnel p/qp/q voisin de x∈Sx∈S est un point extérieur à S. Ces approximations répondent à une question posée par K. Mahler (1984) en considérant l'ensemble de Cantor. Le résultat fondamental de cet article est un analogue extrinsèque du théorème de Dirichlet. En particulier on démontre que si S   ne contient pas de segment de droite alors pour tout point x∈S∖Qdx∈S∖Qd, on peut trouver une constante C>0C>0 tel qu'il existe une infinité de vecteurs p/q∈Qd∖Sp/q∈Qd∖S vérifiant ‖x−p/q‖