Reducibility of one-dimensional quasi-periodic Schrödinger equations

Consider the time-dependent linear Schrödinger equationiq˙n=ϵ(qn+1+qn−1)+V(x+nω)qn+δ∑m∈Zamn(θ+ξt)qm,n∈Z, where V   is a nonconstant real-analytic function on TT, ω   satisfies a certain Diophantine condition and amn(θ)amn(θ) is real-analytic on TbTb, b∈Z+b∈Z+, decaying with |m||m| and |n||n|. We prove that, if ϵ and δ   are sufficiently small, then for a.e. x∈Tx∈T and “most” frequency vectors ξ∈Tbξ∈Tb, it can be reduced to an autonomous equation.Moreover, for this non-autonomous system, “dynamical localization” is maintained in a quasi-periodic time-dependent way.

RésuméOn considère l'équation de Schrödinger linéaire qui dépend du tempsiq˙n=ϵ(qn+1+qn−1)+V(x+nω)qn+δ∑m∈Zamn(θ+ξt)qm,n∈Z, où V   est une fonction analytique réelle non-constante sur TT, ω   satisfait une certaine condition diophantienne et amn(θ)amn(θ) est analytique réelle sur TbTb, b∈Z+b∈Z+, qui déscroît avec |m||m| et |n||n|. On démontre que, si ϵ et δ   sont suffisamment petits, pour presque tous les x∈Tx∈T et « la plupart » des vecteurs de fréquence ξ∈Tbξ∈Tb, elle peut être réduite à une équation autonome.En outre, pour ce système non-autonome, la « localisation dynamique » est maintenue d'une manière quasi-périodique en fonction du temps.