Regularity in Monge's mass transfer problem

In this paper, we study the regularity of optimal mappings in Monge's mass transfer problem. Using the approximation to Monge's cost function c(x,y)=|x−y|c(x,y)=|x−y| through the costs cε(x,y)=ε2+|x−y|2, we consider the optimal mappings TεTε for these costs, and we prove that the eigenvalues of the Jacobian matrix DTεDTε, which are all positive, are locally uniformly bounded. By an example we prove that TεTε is in general not uniformly Lipschitz continuous as ε→0ε→0, even if the mass distributions are positive and smooth, and the domains are c-convex.

RésuméDans cet article, on étudie la régularité des transports optimaux pour le problème de Monge. En utilisant l'approximation du coût de Monge c(x,y)=|x−y|c(x,y)=|x−y| par des coûts cε(x,y)=ε2+|x−y|2, on considère les transports optimaux TεTε, et on démontre que les valeurs propres de la matrice jacobienne DTεDTε, qui sont toutes positives, sont localement uniformément bornées. À l'aide d'un exemple on démontre que TεTε n'est pas en général uniformément Lipschitz lorsque ε→0ε→0, même si les distributions de masse sont lisses et positives sur des domaines c-convexes.