The formation of trapped surfaces in spherically-symmetric Einstein–Euler spacetimes with bounded variation

We study the evolution of a self-gravitating compressible fluid in spherical symmetry and we prove the existence of weak solutions with bounded variation for the Einstein–Euler equations of general relativity. We formulate the initial value problem in Eddington–Finkelstein coordinates and prescribe spherically symmetric data on a characteristic initial hypersurface. We introduce here a broad class of initial data which contain no trapped surfaces, and we then prove that their Cauchy development contains trapped surfaces. We therefore establish the formation of trapped surfaces in weak solutions to the Einstein equations. This result generalizes a theorem by Christodoulou for regular vacuum spacetimes (but without symmetry restriction). Our method of proof relies on a generalization of the “random choice” method for nonlinear hyperbolic systems and on a detailed analysis of the nonlinear coupling between the Einstein equations and the relativistic Euler equations in spherical symmetry.

RésuméOn étudie l'évolution d'un fluide compressible auto-gravitant en symétrie radiale et démontre un résultat d'existence de solutions faibles à variation bornée pour les équations d'Einstein–Euler de la relativité générale. On formule le problème de Cauchy en coordonnées d'Eddington–Finkelstein et on prescrit des données à symétrie radiale sur une hypersurface initiale caractéristique. On introduit ici une classe de données initiales qui ne contiennent pas de surfaces piégées, et on démontre alors que leur développement de Cauchy contient des surfaces piégées. On établit ainsi un résultat de formation de surfaces piégées dans les solutions faibles des équations d'Einstein. Ce résultat généralise un théorème de Christodoulou pour les espaces–temps réguliers sans matière (mais sans restriction de symétrie). Notre méthode de démonstration s'appuie sur une généralisation de la méthode « random choice » pour les systèmes hyperboliques non linéaires et sur une analyse fine du couplage non linéaire entre les équations d'Einstein et les équations d'Euler relativistes en symétrie radiale.