On a quasilinear mean field equation with an exponential nonlinearity

The mean field equation involving the N  -Laplace operator and an exponential nonlinearity is considered in dimension N≥2N≥2 on bounded domains with homogeneous Dirichlet boundary condition. By a detailed asymptotic analysis we derive a quantization property in the non-compact case, yielding to the compactness of the solutions set in the so-called non-resonant regime. In such a regime, an existence result is then provided by a variational approach.

RésuméL'équation de champ moyen avec l'opérateur de N  -Laplace et une non-linéarité exponentielle est considérée en dimension N≥2N≥2 sur des domaines bornés avec condition Dirichlet homogène au bord. Par une analyse asymptotique fine on dérive une propriété de quantification dans le cas non-compact, en produisant la compacité de l'ensemble des solutions dans le régime non-résonnant. Dans ce régime, un résultat d'existence est alors établi par une approche variationnelle.