Stochastic porous media equations in RdRd

Existence and uniqueness of solutions to the stochastic porous media equation dX−Δψ(X)dt=XdWdX−Δψ(X)dt=XdW in RdRd are studied. Here, W is a Wiener process, ψ   is a maximal monotone graph in R×RR×R such that ψ(r)≤C|r|mψ(r)≤C|r|m, ∀r∈R∀r∈R. In this general case, the dimension is restricted to d≥3d≥3, the main reason being the absence of a convenient multiplier result in the space H={φ∈S′(Rd);|ξ|(Fφ)(ξ)∈L2(Rd)}, for d≤2d≤2. When ψ   is Lipschitz, the well-posedness, however, holds for all dimensions on the classical Sobolev space H−1(Rd)H−1(Rd). If ψ(r)r≥ρ|r|m+1ψ(r)r≥ρ|r|m+1 and m=d−2d+2, we prove the finite time extinction with strictly positive probability.

RésuméOne étudie l'existence et l'unicité pour les solutions d'une équation de milieux poreux dX−Δψ(X)dt=XdWdX−Δψ(X)dt=XdW dans RdRd. Ici W est un processus de Wiener, ψ   est un graphe maximal monotone dans R×RR×R tel que ψ(r)≤C|r|mψ(r)≤C|r|m, ∀r∈R∀r∈R. Dans ce contexte général, la dimension est restreinte à d≥3d≥3, essentiellement compte tenu de l'absence d'un résultat adéquat de multiplication dans l'espace H={φ∈S′(Rd);|ξ|(Fφ)(ξ)∈L2(Rd)}, pour d≤2d≤2. Lorsque ψ   est Lipschitz, le problème est néanmoins bien posé pour toute dimension dans l'espace de Sobolev classique H−1(Rd)H−1(Rd). Si ψ(r)r≥ρ|r|m+1ψ(r)r≥ρ|r|m+1 et m=d−2d+2, on démontre une propriété d'extinction en temps fini avec probabilité strictement positive.