Regularity results for very degenerate elliptic equations

We consider a family of elliptic equations introduced in the context of traffic congestion. They have the form ∇⋅(∇F(∇u))=f, where F is a convex function which vanishes inside some convex set and is elliptic outside. Under some natural assumptions on F and f, we prove that the function ∇F(∇u) is continuous in any dimension, extending a previous result valid only in dimension 2 (Santambrogio and Vespri, 2010 [14]).

RésuméDans cet article, on considère une famille dʼéquations elliptiques introduites dans le contexte dʼun problème de transport congestionné. Ces équations sont de la forme ∇⋅(∇F(∇u))=f, où F est une fonction convexe qui vaut zéro sur un ensemble convexe et est uniformément elliptique au dehors de cet ensemble. Sous des conditions naturelles sur F et f, on démontre que la fonction ∇F(∇u) est continue en toutes dimensions, ce qui étend un résultat précèdent en dimension 2 (Santambrogio et Vespri, 2010 [14]).