Conditionally Gaussian stochastic integrals

We derive conditional Gaussian type identities of the formE[exp⁡(i∫0TutdBt)|∫0T|ut|2dt]=exp⁡(−12∫0T|ut|2dt), for Brownian stochastic integrals, under conditions on the process (ut)t∈[0,T](ut)t∈[0,T] specified using the Malliavin calculus. This applies in particular to the quadratic Brownian integral ∫0tABsdBs under the matrix condition A†A2=0A†A2=0, using a characterization of Yor [6].

RésuméNous obtenons des identités gaussiennes conditionnelles de la formeE[exp⁡(i∫0TutdBt)|∫0T|ut|2dt]=exp⁡(−12∫0T|ut|2dt), pour les intégrales stochastiques browniennes, sous des conditions sur le processus (ut)t∈[0,T](ut)t∈[0,T] exprimées à l'aide du calcul de Malliavin. Ces résultats s'appliquent en particulier à l'intégrale brownienne quadratique ∫0tABsdBs sous la condition matricielle A†A2=0A†A2=0, en utilisant une caractérisation de Yor [6].