Almost commuting functions of almost commuting self-adjoint operators

Let A and B   be almost commuting (i.e, AB−BA∈S1AB−BA∈S1) self-adjoint operators. We construct a functional calculus φ↦φ(A,B)φ↦φ(A,B) for φ   in the Besov class B∞,11(R2). This functional calculus is linear, the operators φ(A,B)φ(A,B) and ψ(A,B)ψ(A,B) almost commute for φ,ψ∈B∞,11(R2), φ(A,B)=u(A)v(B)φ(A,B)=u(A)v(B) whenever φ(s,t)=u(s)v(t)φ(s,t)=u(s)v(t), and the Helton–Howe trace formula holds. The main tool is triple operator integrals.

RésuméOn dit que des opérateurs A et B   sont presque commutants si leur commutateur [A,B][A,B] appartient à la classe trace. Pour des opérateurs A et B   auto-adjoints qui presque commutent, nous construisons un calcul fonctionnel φ↦φ(A,B)φ↦φ(A,B), φ∈B∞,11(R2), où B∞,11(R2) est la classe de Besov. Ce calcul a les propriétés suivantes : il est linéaire, les opérateurs φ(A,B)φ(A,B) et ψ(A,B)ψ(A,B) presque commutent pour toutes les fonctions φ et ψ   dans B∞,11(R2), φ(A,B)=u(A)v(B)φ(A,B)=u(A)v(B) si φ(s,t)=u(s)v(t)φ(s,t)=u(s)v(t), et la formule des traces de Helton et Howe est vraie. L'outil principal est la notion d'intégrales triples opératorielles.