Noncommutative affine spaces and Lie-complete rings

In this paper, we investigate the structure sheaves of an (infinite-dimensional) affine NC-space Ancx, affine Lie-space Aliehx, and their nilpotent perturbations Anc,qx and Alieh,qx, respectively. We prove that the schemes Ancx and Aliehx are identical if and only if x is a finite set of variables, that is, when we deal with finite-dimensional noncommutative affine spaces. For each (Zariski) open subset U⊆X=Spec(C[x])U⊆X=Spec(C[x]), we obtain the precise descriptions of the algebras Onc(U)Onc(U), Onc,q(U)Onc,q(U), Olieh,q(U)Olieh,q(U) and Olieh,q(U)Olieh,q(U) of noncommutative regular functions on U   associated with the schemes Ancx, Anc,qx, Alieh,qx and Aliehx, respectively. The obtained result for Onc(U)Onc(U) generalizes Kapranov's formula in the finite-dimensional case. Our approach to the matter is based on a noncommutative holomorphic functional calculus in Fréchet algebras.

RésuméDans cette note, nous étudions la structure des faisceaux des NC-espaces Ancx et des Lie espaces Aliehx, affines (de dimension infinie), et de leur perturbations nilpotentes Anc,qx et Alieh,qx, respectivement. Nous montrons que les schémas Ancx et Aliehx sont identiques si et seulement si x est un ensemble fini de variables, c'est-à-dire lorsqu'on traite des espaces affines non commutatifs de dimension finie. Pour chaque ouvert (de Zariski) U⊂X=Spec(C[x])U⊂X=Spec(C[x]), nous obtenons les descriptions précises des algèbres Onc(U)Onc(U), Onc,q(U)Onc,q(U), Olieh(U)Olieh(U) et Olieh,q(U)Olieh,q(U), de fonctions régulières non commutatives sur U  , associées aux schémas Ancx, Anc,qx, Aliehx et Alieh,qx, respectivement. Ces résultats pour Onc(U)Onc(U) généralisent la formule de Kapranov dans le cas où la dimension est finie. De plus, nous montrons que tout anneau Lie complet A   est plongé dans Γ(X,OA)Γ(X,OA) comme sous-algèbre dense pour la topologie I1I1-adique associée à l'idéal bilatère I1I1 engendré par tous les commutateurs de A.