Remarks on a lemma by Jacques-Louis Lions

Let Ω   be a bounded and connected open subset of RNRN with a Lipschitz-continuous boundary ∂Ω, the set Ω being locally on one side of ∂Ω  . It is shown in this Note that a fundamental characterization of the space L2(Ω)L2(Ω) due to Jacques-Louis Lions is in effect equivalent to a variety of other properties. One of the keys for establishing these equivalences is a specific “approximation lemma”, itself one of these equivalent properties.

RésuméSoit Ω   un ouvert borné et connesce de RNRN de frontière ∂Ω lipschitzienne, l'ensemble Ω étant localement du même côté de ∂Ω  . On montre dans cette Note qu'une caractérisation fondamentale de l'espace L2(Ω)L2(Ω) due à Jacques-Louis Lions est en fait équivalente à un certain nombre d'autres propriétés. L'une des clés pour établir ces équivalences est un « lemme d'approximation » spécifique, qui constitue lui-même l'une de ces propriétés équivalentes.