The John–Nirenberg inequality with sharp constants

We consider the one-dimensional John–Nirenberg inequality:|{x∈I0:|f(x)−fI0|>α}|⩽C1|I0|exp(−C2‖f‖⁎α). A. Korenovskii found that the sharp C2C2 here is C2=2/eC2=2/e. It is shown in this paper that if C2=2/eC2=2/e, then the best possible C1C1 is C1=12e4/e.

RésuméOn considère lʼinégalité de John–Nirenberg unidimensionnelle :|{x∈I0:|f(x)−fI0|>α}|⩽C1|I0|exp(−C2‖f‖⁎α). A. Korenovskii a montré que la meilleure constante C2C2 était égale à 2/e2/e. Dans cette Note, on montre que si C2=2/eC2=2/e, alors la meilleure constante possible pour C1C1 est C1=12e4/e.