The Nash problem for a toric pair and the minimal log-discrepancy

This Note formulates the Nash problem for a pair consisting of a toric variety and an invariant ideal and gives an affirmative answer to the problem. We also prove that the minimal log-discrepancy is computed by a divisor corresponding to a Nash component, if the minimal log-discrepancy is finite. On the other hand there exists a Nash component such that the corresponding divisor has negative log-discrepancy, if the minimal log-discrepancy is −∞.

RésuméDans cette Note, nous formulons le problème de Nash pour une paire constituée d'une variété torique et d'un idéal invariant. Nous montrons que le problème admet une réponse positive. Nous montrons aussi que la log-discrépance minimale, si elle est finie, est calculée par un diviseur correspondant à une composante de Nash. D'autre part, si la log-discrépance minimale est −∞, alors il existe une composante de Nash dont le diviseur correspondant est de log-discrépance négative.