Lie bialgebroids of generalized CRF-manifolds

The notion of a generalized CRF-structure on a smooth manifold was recently introduced and studied by Vaisman (2008) [6], . An important class of generalized CRF-structures on an odd dimensional manifold M consists of CRF-structures having complementary frames of the form ξ±η, where ξ is a vector field and η is a 1-form on M with η(ξ)=1. It turns out that these kinds of CRF-structures give rise to a special class of what we called strong generalized contact structures in Poon and Wade [5]. More precisely, we show that to any CRF-structures with complementary frames of the form ξ±η, there corresponds a canonical Lie bialgebroid. Finally, we explain the relationship between generalized contact structures and another generalization of the notion of a Cauchy–Riemann structure on a manifold.

RésuméLa notion de structure CRF généralisée sur une variété lisse a été récemment introduite et étudiée par Vaisman (2008) [6], . Une classe importante de structures CRF généralisées sur une variété M de dimension impaire est constituée de structures CRF généralisées ayant des repères supplémentaires de la forme ξ±η, où ξ est un champ de vecteurs et η est une 1-forme differentielle sur M avec η(ξ)=1. Il s'avère que ces types de structures CRF généralisées donnent lieu à une classe spéciale de structures que nous avons appelées des structures de contact généralisées fortes dans Poon et Wade [5]. Plus précisément, nous montrons qu'à toute structure CRF généralisée ayant des repères supplémentaires de la forme ξ±η, il correspond un bi-algèbroïde de Lie canonique. Finalement, nous expliquons la relation entre les structures de contact généralisées et une autre généralisation de la notion de structure-CR (Cauchy–Riemann) sur une variété.