Large deviations from a macroscopic scaling limit for particle systems with Kac interaction and random potential

We consider a lattice gas in a periodic d-dimensional lattice of width γ−1, γ>0, interacting via a Kac's type interaction, with range and strength γd, and under the influence of a random one body potential given by independent, bounded, random variables with translational invariant distribution. The system evolves through a conservative dynamics, i.e. particles jump to nearest neighbor empty sites, with rates satisfying detailed balance with respect to the equilibrium measures. In [M. Mourragui, E. Orlandi, E. Saada, Macroscopic evolution of particles systems with random field Kac interactions, Nonlinearity 16 (2003) 2123–2147] it has been shown that rescaling space as γ−1 and time as γ−2, in the limit γ→0, for dimensions d⩾3, the macroscopic density profile ρ satisfies, a.s. with respect to the random field, a non-linear integral partial differential equation, having the diffusion matrix determined by the statistical properties of the external random field. Here we show an almost sure (with respect to the random field) large deviations principle for the empirical measures of such a process. The rate function, which depends on the statistical properties of the external random field, is lower semicontinuous and has compact level sets.

RésuméOn considère un modèle de spins évoluant dans le tore de dimension d⩾3, de largeur γ−1 (γ>0), soumis à un potentiel d'interaction de Kac de portée γ−1 et à un champ extérieur aléatoire. Le champ extérieur aléatoire est défini par des variables aléatoires indépendantes, bornées dont la loi est supposée invariante par translation. L'évolution du système au cours du temps consiste à échanger l'occupation entre deux sites voisins selon des taux vérifiant la condition du bilan détaillé. La limite hydrodynamique a été étudiée en dimension d⩾3 dans [M. Mourragui, E. Orlandi, E. Saada, Macroscopic evolution of particles systems with random field Kac interactions, Nonlinearity 16 (2003) 2123–2147]. Les auteurs ont démontré que sous l'échelle spatiale γ−1 et l'échelle temporelle γ−2, pour presque tout environnement aléatoire, les mesures empiriques convergent vers l'unique solution faible d'une équation de second ordre définie à partir d'une matrice de diffusion. Dans ce papier nous établissons pour presque tout environnement aléatoire, un principe de grandes déviations pour ce modèle. La fonctionnelle d'action associée aux grandes déviations est semi-continue inférieurement et admet des ensembles de niveaux compacts.