Note on the stability of viscous roll waves

In this note, we announce a complete classification of the stability of periodic roll-wave solutions of the viscous shallow water equations, from their onset at Froude number F≈2 up to the infinite Froude limit. For intermediate Froude numbers, we obtain numerically a particularly simple power-law relation between F and the boundaries of the region of stable periods, which appears potentially useful in hydraulic engineering applications. In the asymptotic regime F→2 (onset), we provide an analytic expression of the stability boundaries, whereas in the limit F→∞, we show that roll waves are always unstable.

RésuméLes roll waves sont des ondes progressives périodiques hydrodynamiques, modélisées comme des solutions des équations de Saint-Venant. Dans cette note, nous annonçons une classification complète des roll waves stables de leur apparition à F (le nombre de Froude) proche de 2 à F→∞. Pour les nombres de Froude intermédiaires, nous avons mené une étude numérique des critères de stabilité spectrale. Dans le régime asymptotique F→2, nous donnons une expression analytique des limites de stabilité, alors que pour F→∞, nous montrons que les roll waves sont toujours instables.