Averaging in variational inequalities with nonlinear restrictions along manifolds

We consider variational inequalities for the Laplace operator in a domain Ω of Rn periodically perforated along a manifold, with nonlinear restrictions for the flux on the boundary of the cavities. We assume that the perforations are balls of radius O(εα) distributed along a (n−1)-dimensional manifold γ with period ε. Here ε>0 is a small parameter, α>0 and n⩾3. On the boundary of the perforations, we have the restrictions for the solution uε⩾0, ∂νuε⩾−ε−κσ(x,uε) and uε(∂νuε+ε−κσ(x,uε))=0, where κ⩾0 and σ is a certain smooth function. For α⩾1 and κ=(α−1)(n−2), we characterize the asymptotic behavior of uε as ε→0 providing the homogenized problems. A critical size of the cavities is found when α=κ=(n−1)/(n−2) for which the corrector in the energy norm is constructed.

RésuméNous considèrons inégalités variationnelles pour lʼopérateur de Laplace dans une domaine Ω de Rn périodiquement perforé, et avec des restrictions pour le flux sur la frontière des trous. On suppose que les perforations sont des boules de rayon O(εα) distribuées sur une variété de dimension (n−1), γ, de période ε. Ici ε>0 est une petite paramètre, α>0 et n⩾3. Sur la frontière des trous nous avons des restrictions pour la solution uε⩾0, ∂νuε⩾−ε−κσ(x,uε) et uε(∂νuε+ε−κσ(x,uε))=0, où κ⩾0 et σ est une certaine fonction régulière. Pour α⩾1 and κ=(α−1)(n−2), nous caractérisons le comportement asymptotique de uε pour ε→0. On trouve les problèmes homogéneisés et une taille critique des trous pour α=κ=(n−1)/(n−2). Pour cette taille on construit le correcteur dans la norme de lʼénergie.