Plates with incompatible prestrain of high order

On s'intéresse au comportement de structures minces d'épaisseur h dont l'énergie interne Eh est régie par une métrique riemannienne tridimensionnelle G imposée, constante dans l'épaisseur, n'admettant pas nécessairement d'immersion isométrique. On sait que lorsque la restriction de G à la surface moyenne ω possède une immersion isométrique suffisamment régulière, c'est-à-dire appartenant à W2,2(ω,R3), alors h−2inf⁡Eh admet une limite finie c quand h tend vers 0. Le modèle limite correspondant généralise le modèle de flexion non linéaire, classique pour la métrique euclidienne. Nous nous plaçons ici dans le cas où c vaut 0, ce qui équivaut à la nullité de trois des six coeffiecients du tenseur de courbure associé à G. Nous montrons qu'alors inf⁡Eh≤Ch4. Nous identifions la Γ-limite de h−4Eh et montrons qu'elle généralise l'énergie de von Kármán. Elle s'exprime en fonction des déplacements incrémentaux par rapport à la surface définie par le modèle de flexion et de déformations tangentielles généralisées. De plus, nous montrons que l'infimum de ce modèle limite à l'ordre 4 n'est nul que si G admet une immersion isométrique, auquel cas min⁡Eh=0 pour tout h.