A Dirichlet problem for the Laplace operator in a domain with a small hole close to the boundary

Nous étudions le problème de Dirichlet dans un domaine avec une petite inclusion proche du bord. Pour cela, pour chaque paire ε=(ε1,ε2) de paramètres positifs, nous considérons un domaine perforé Ωε obtenu en faisant une petite inclusion de taille ε1ε2 dans un ouvert régulier Ω de Rn à distance ε1 du bord ∂Ω. Quand ε1→0, l'inclusion se rétracte en un point et, en même temps, se rapproche du bord. Quand ε→(0,0), l'inclusion se rétracte plus vite qu'elle n'approche du bord. Notons uε la solution du problème de Dirichlet pour l'équation de Laplace sur Ωε. En dimension n≥3, nous montrons que la fonction qui à ε associe uε a un prolongement analytique réel dans un voisinage de (0,0). A contrario, lorsque n=2 nous considérons deux régimes : ε tend vers (0,0), et ε1 tend vers 0 avec ε2 fixé. Quand ε→(0,0), la solution uε a un comportement logarithmique ; Quand seul ε1→0 et ε2 est fixé, le comportement asymptotique de la solution peut se décrire à l'aide de fonctions réelles analytiques en ε1. Nous montrons aussi que pour n=2, l'énergie intégrale et le flux total sur le bord extérieur ont des valeurs limites différentes selon les deux régimes. Nous prouvons ces résultats en utilisant des méthodes d'analyse fonctionnelle ainsi que des potentiels de couche adaptés.