The 2D Boussinesq equations with fractional horizontal dissipation and thermal diffusion

Cet article examine le problème de la régularité globale sur les équations de Boussinesq bi-dimensionnels (2D) incompressibles avec dissipation horizontale fractionnaire et avec diffusion thermique. L'objectif est d'établir l'existence globale et la régularité pour les équations de Boussinesq avec dissipation minimale et diffusion thermique. En travaillant avec cette dissipation laplacienne fractionnaire unidimensionnelle assez générale, nous ne sommes plus limités à la dissipation partielle standard, et cette etude nous aidera à comprendre le problème sur combien de dissipation est nécessaire pour obtenir la régularité globale. A cause de la non-localité de ces opérateurs fractionnaires unidimensionnels, certaines des techniques d'estimation d'énergie standard, par exemple l'intégration par partie, ne s'applique plus, et des nouveaux outils comprenant l'injection anisotrope et les inégalités d'interpolation concernant des dérivés fractionnaires sont dérivées. Ces outils nous permettent d'obtenir des bornes supérieures très sharp pour les non-linéarités.