Maximal functions associated with nonisotropic dilations of hypersurfaces in R3

L'objectif de cet article est d'établir Lp-estimations pour les fonctions maximales associées aux dilatations nonisotropes des hypersurfaces dans R3. Plusieurs résultats ont déjà été obtenus par Greenleaf [5], Iosevich-Sawyer [9], Ikromov-Kempe-Müller [6] et Zimmermann [28], mais pour certaines situations, comme l'hypersurface paramétrée comme le graphe d'une fonction lisse Φ(x1,x2)=x2d(1+O(x2m)) près de l'origine, où d≥2, m≥1 et les dilatations associées δt(x)=(tax1,tx2,tdx3) pour un nombre réel arbitraire a>0, la question était ouverte jusqu'à récemment. En fait, de tels problèmes se posent déjà dans des dimensions inférieures. Par exemple, nous considérons la courbe γ(x)=(x,x2(1+ϕ(x))) et les dilatations associées δt(x)=(tx1,t2x2). Si ϕ≡0, alors la fonction maximale correspondante est la fonction maximale le long de paraboles dans le plan, ce qui est très bien compris grâce à l'œuvre de Nagel-Riviere-Wainger [17] et d'autres. Si ϕ≠0 et ϕ(x)=O(xm), m≥1, le problème a été ouvert jusqu'à récemment. Nous observons que dans l'étude de la fonction maximale liée à la courbe mentionnée γ(x) et les dilatations associées, nous considérons une famille d'opérateurs intégrales de Fourier correspondants qui ne satisfont pas à la “condition de courbure cinématographique” uniformément, ce qui veut dire que les estimations de lissage locales classiques établies par Mockenhaupt-Seeger-Sogge ne pouvaient pas être directement appliquées à notre problème. Dans cet article, nous développons de nouvelles idées pour établir des Lp-estimations pour la fonction maximale liée à la courbe γ(x) avec des dilatations associées dans le plan. Plus tard, nous généralisons le résultat aux courbes de type fini d (d≥2) et les dilatations associées δt(x)=(tx1,tdx2). De plus, on obtient aussi Lp-estimations pour la fonction maximale liée à l'hypersurface Φ(x1,x2) dans R3 avec les dilatations associées.