Embedded eigenvalues of the Neumann problem in a strip with a box-shaped perturbation

Nous considérons le spectre du laplacien de Neumann dans un guide d'onde acoustique Πlε formé d'une bande infinie perturbée par une cavité étroite de taille 2l×ε, où ε>0 est un petit paramètre. Nous prouvons, pour chaque k=1,2,3, l'existence d'une longueur lkε=πk+O(ε) telle qu'il existe dans le guide d'onde Πlkεε un mode piégé associé à une valeur propre λkε=π2−4pi4l2ε2+O(ε3) plongée dans le spectre continu. Il s'agit de la seule valeur propre dans [0,π2], elle est de plus absente lorsque l≠lkε. La détection de cette valeur propre plongée est basée sur un critère pour les modes piégés impliquant un objet artificiel : la matrice de scattering augmentée. La principale difficulté vient de la forme spécifique de la perturbation du mur ∂Πlε, c'est-à-dire un étroit renflement rectangulaire comportant des angles. Nous discutons également de possibles généralisations aux cas d'autres bords constants par morceaux.