Nonhomogeneous boundary-value problems for one-dimensional nonlinear Schrödinger equations

L'article est consacré à l'étude de problèmes avec conditions initiales et aux limites pour une classe d'équations de Schrödinger non linéaires considérées soit sur la demi-droite R+, soit sur un intervalle borné ]0,L[, avec des conditions aux limites non homogènes. Pour tout s vérifiant 0≤s<5/2 et s≠1/2, on montre que le problème avec conditions initiales et aux limites est localement bien posé si la donnée initiale est dans l'espace de Sobolev Hs(R+) dans le cas de la demi-droite, et dans Hs(0,L) dans le cas de l'intervalle borné, pourvu que les données aux limites soient choisies dans Hloc(2s+1)/4(R+) et Hloc(s+1)/2(R+), respectivement. Pour s>12, les données initiales et les données aux limites doivent être compatibles. Le caractère globalement bien posé est également discuté quand s≥1. Du point de vue de la théorie des problèmes bien posés, les résultats obtenus ici révèlent une différence significative entre les problèmes considérés sur R+ et ceux sur ]0,L[. La théorie sur la demi-droite fait penser à celle développée pour les problèmes avec données initiales sur la droite, tandis que celle sur un intervalle borné s'apparente à celle développée pour les problèmes sur un domaine périodique. En particulier, la régularité requise pour les données aux limites dans le cas de la demi-droite est cohérente avec les résultats de régularité des traces temporelles des solutions d'un problème avec donnée initiale sur R, tandis que la régularité légèrement supérieure requise pour les données aux limites dans le cas de l'intervalle ]0,L[ ressemble à celle obtenue pour les traces temporelles des solutions périodiques en espace.