Symmetry breaking for a problem in optimal insulation

On considére le problème d'isolation optimale d'un ensemble Ω de Rd ; ceci revient à résoudre un problème variationnel non linéaire, où l'épaisseur optimale du matériau isolant est obtenue comme trace au bord de la solution. On étudie deux critères différents d'optimalité : le premier consiste dans la minimisation de l'énergie totale du système et le deuxième implique la première valeur propre de l'opérateur associé. De façon surprenante, le deuxième problème présente une brisure de symétrie, dans le sens que pour une boule, l'épaisseur optimale n'est pas symétrique quand la quantité totale du matériau isolant est petite. Dans la dernière section, on discute un problème d'optimisation de forme associé, dans lequel l'ensemble Ω est aussi supposé variable.