Simplicial complexes and closure systems induced by indistinguishability relations

Nous développons dans ce texte la notion d'indistinguabilité dans un contexte mathématique plus général. Cette notion a en effet été récemment étudiée en théorie des graphes, comme une relation de symétrie relativement aux sommets fixés. Le point de départ de notre analyse est de considérer un ensemble Ω de fonctions définies sur un ensemble univers U et de définir pour tout sous-ensemble A⊂Ω une relation d'équivalence ≡A sur U par u≡u′ si a(u)=a(u′) pour toute fonction a∈A. Au moyen de cette famille de relations, nous introduisons la relation d'indistinguabilité ≈ sur l'ensemble puissance P(Ω) de la façon suivante : pour A,A′∈P(Ω), nous posons A≈A′ si les relations ≡A et ≡A′ coïncident. Nous utilisons cette relation d'indistinguabilité ≈ pour définir plusieurs familles d'ensembles sur Ω ayant d'intéressantes propriétés d'ordre, de matroïde et combinatoires. Nous appelons les familles d'ensembles ci-dessus les structures indistinguables du système de fonctions (U,Ω). De plus, nous obtenons un système de clôture et un complexe simplicial abstrait interagissant l'un l'autre au travers de trois hypergraphes, qui sont significatifs aussi bien en théorie des graphes qu'en informatique théorique. La première partie du texte est dédiée à l'étude les propriétés mathématiques élémentaires des structures d'indistinguabilité pour les systèmes de fonctions arbitraires. La seconde partie traite de quelques cas particuliers dérivés des graphes non orientés simples et de la droite euclidienne réelle usuelle.