Pathological solutions to the Euler-Lagrange equation and existence/regularity of minimizers in one-dimensional variational problems

Dans cette Note, nous démontrons que si L(x,u,v)∈C3(R3→R), Lvv>0 et L≥α|v|+β, α>0, alors tous les problèmes (1)-(2) admettent des solutions dans la classe W1,1[a,b], qui sont en fait C3-régulières pourvu que l'équation d'Euler (5) n'ait pas de solution pathologique. Ici, une solution u∈C3[c,d[ de (5) est dite pathologique si l'équation est satisfaite dans [c,d[, |u˙(x)|→∞ lorsque x→d et ‖u‖C[c,d]<∞. Nous montrons également (voir Théorème 9), que l'absence de solution pathologique à l'équation d'Euler entraîne l'absence de phénomène de Lavrentiev ; aucune hypothèse de croissance minimale n'est requise pour ce résultat.