Self-adjoint and skew-symmetric extensions of the Laplacian with singular Robin boundary condition

Nous étudions le laplacien dans un domaine borné, avec une condition à la frontière de type Robin, variable et singulière en un point. La forme quadratique associée n'est pas bornée inférieurement, et le laplacien correspondant n'est pas self-adjoint ; son spectre résiduel couvre entièrement le plan complexe. Nous décrivons ses extensions self-adjointes et nous en montrons une anti-symétrique, pertinente en physique. Nous approchons la condition de frontière à l'aide d'une famille d'opérateurs self-adjoints et nous décrivons son spectre par la méthode d'appariement des développements asymptotiques. Une partie du spectre adopte un comportement étrange quand le paramètre ε>0 de petite perturbation tend vers zéro ; précisément, il devient presque périodique en échelle logarithmique |log⁡(ε)|, et ainsi « erre » le long de l'axe réel à une vitesse O(ε−1).