On self-similarity and stationary problem for fragmentation and coagulation models

Pour toute masse donnée, nous démontrons l'existence d'au moins une solution stationnaire pour l'équation de coagulation-fragmentation. Nous ne faisons pas d'hypothèse d'équilibre en détails sur les coefficients mais nous supposons que la coagulation domine la fragmentation pour les particules de petite taille et que la fragmentation est prépondérante pour les particules de grande taille. Nous démontrons également l'existence de solutions auto-similaires pour l'équation de coagulation et pour l'équation de fragmentation sous une hypothèse d'homogéneité sur les noyaux. Ces résultats sont obtenus, s'inspirant de la preuve du Théorème de Poincaré-Bendixson, en appliquant le théorème de point fixe de Tykonov sur le semi-groupe engendré par l'équation ou par l'équation écrite en variables auto-similaires associée. Enfin, nous démontrons que les solutions de l'équation de fragmentation de masse donnée ρ>0 se comportent en temps grand comme la solutions auto-simialire de masse ρ.