Jost Bürgi's method for calculating sines

For a long time it has been known that in the 16th century the Swiss mathematician Jost Bürgi found a new method for calculating sines, but no information about the details has been available. Recently a manuscript written by Bürgi himself has come to light in which he explains his algorithm. It is totally different from the traditional procedure which was used until the 17th century. In the first part of the article the standard method is explained which was rooted in Greek antiquity with Ptolemy's computation of chords and which was used in the Arabic-Islamic tradition and in the Western European Middle Ages for calculating chords as well as sines. The main part of the article deals with Bürgi's way. By only using additions and halving, his procedure is elementary and it converges quickly. Bürgi does not explain why his method is correct, but in the last part of the article a modern proof for the correctness of his algorithm is provided.

ZusammenfassungSchon seit langem ist bekannt, dass im 16. Jahrhundert der Schweizer Mathematiker Jost Bürgi eine neue Methode gefunden hat, um die Sinus-Werte zu berechnen, aber über die Einzelheiten gab es keine Informationen. Jetzt ist eine Handschrift aufgetaucht, in der Bürgi selbst dieses Verfahren beschreibt. Es unterscheidet sich grundsätzlich von dem üblichen Vorgehen, das man bis zum 17. Jahrhundert benutzte. Im ersten Teil des Aufsatzes wird die herkömmliche Methode beschrieben, die auf die Sehnenberechnung des Ptolemaeus in der griechischen Antike zurückgeht und die auch im arabisch-islamischen Bereich und im westeuropäischen Mittelalter benutzt wurde, um Sehnen und Sinuswerte zu berechnen. Im Mittelpunkt des Aufsatzes steht die Erklärung von Bürgis Verfahren. Dadurch, dass er nur Additionen und Halbierungen benutzt, ist seine Methode elementar, und sie konvergiert schnell. Bürgi erklärt nicht, warum sein Verfahren funktioniert. Im letzten Teil des Aufsatzes wird ein moderner Beweis für die Richtigkeit von Bürgis Methode gegeben.