The mystery of Riemann's curvature

Bernhard Riemann's habilitation lecture of 1854 on the foundations of geometry contains a stunningly precise concept of curvature without any supporting calculations. Another memoir of 1861 contains formulas in which we may recognize our Riemann tensor, though in a different context and without much geometrical interpretation. The first text is mysterious by the lack of formulas, the second by the excess of formulas. The purpose of this essay is to investigate this double mystery and the stimulating effect it had on some of Riemann's early readers, from Richard Dedekind to Tullio Levi-Civita. Use is made of some heretofore unexploited manuscript sheets by Riemann.

RésuméLa leçon d'habilitation que Bernhard Riemann prononça en 1854 sur les fondements de la géométrie contient un concept de courbure étonnamment précis, sans aucun calcul pour le soutenir. Un autre mémoire de 1861 contient des formules parmi lesquelles le lecteur moderne reconnaît le tenseur de Riemann, cela dans un contexte différent et presque sans interprétation géométrique. Le premier texte est mystérieux par le manque de formules, le second par l'excès de formules. Le but de cet essai est d'examiner ce double mystère et l'effet stimulant qu'il eut sur quelques lecteurs de Riemann, de Richard Dedekind à Tullio Levi-Civita. Quelques notes manuscrites inédites de Riemann sont utilisées à cet effet.