Note sur la détermination algébrique du groupe fondamental pro-résoluble d'une courbe affine

RésuméSoit X une courbe projective et lisse de genre g privée de r⩾1 points sur un corps algébriquement clos k de caractéristique p⩾0. La structure du plus grand quotient d'ordre premier à p du groupe fondamental étale de X est bien connu par des méthodes transcendantes : il est isomorphe au plus grand quotient d'ordre premier à p d'un groupe pro-fini libre à 2g+r−1 générateurs. On montre que l'on peut retrouver ce résultat par des méthodes purement algébriques pour le plus grand quotient pro-résoluble de ces groupes.

Let X be a smooth projective algebraic curve of genus g minus r⩾1 points defined over an algebraically closed field k of characteristic p⩾0. The structure of the largest prime to p quotient of the étale fundamental group is well known by transcendental methods: it is isomorphic to the largest prime to p quotient of a free pro-finite group on 2g+r−1 generators. We show that, with purely algebraic means, we can prove the corresponding result for the largest pro-solvable quotient of these groups.