A rigidity result for global Mumford–Shah minimizers in dimension three

We study global Mumford–Shah minimizers in RNRN, introduced by Bonnet as blow-up limits of Mumford–Shah minimizers. We prove a new monotonicity formula for the energy of u when the singular set K   is contained in an (N−1)(N−1)-dimensional cone. We then use this monotonicity to prove that for any reduced global minimizer (u,K)(u,K) in R3R3, if K is contained in a half-plane and touches its edge, then it is the half-plane itself. This partially answers to a question of Guy David.

RésuméOn étudie les minimiseurs globaux de Mumford–Shah dans RNRN, introduits par Bonnet comme limites d'expansions homothétiques des minimiseurs de la fonctionnelle de Mumford–Shah. On démontre une formule de monotonie pour l'énergie normalisée de u, lorsque l'ensemble singulier K   est contenu dans un cône (N−1)(N−1)-dimensionnel. On utilise ensuite cette monotonie pour démontrer que, si (u,K)(u,K) est un minimiseur global dans R3R3 et si K est inclus dans un demi-plan en touchant sa tranche, alors K est lui même forcément un demi-plan. Ceci répond partiellement à une question posée par Guy David.