Multiple positive solutions for a critical quasilinear equation via Morse theory

We deal with the existence of solutions for the quasilinear problem(Pλ){−Δpu=λuq−1+up∗−1inΩ,u>0inΩ,u=0on∂Ω, where Ω   is a bounded domain in RNRN with smooth boundary, N⩾p2N⩾p2, 10λ>0 is a parameter. Using Morse techniques in a Banach setting, we prove that there exists λ∗>0λ∗>0 such that, for any λ∈(0,λ∗)λ∈(0,λ∗), (Pλ)(Pλ) has at least P1(Ω)P1(Ω) solutions, possibly counted with their multiplicities, where Pt(Ω)Pt(Ω) is the Poincaré polynomial of Ω  . Moreover for p⩾2p⩾2 we prove that, for each λ∈(0,λ∗)λ∈(0,λ∗), there exists a sequence of quasilinear problems, approximating (Pλ)(Pλ), each of them having at least P1(Ω)P1(Ω) distinct positive solutions.

RésuméOn s'interesse à l'existence de solutions pour l'équation quasi-linéaire(Pλ){−Δpu=λuq−1+up∗−1inΩ,u>0inΩ,u=0on∂Ω, où Ω   est un domaine de RNRN avec frontière régulière, N⩾p2N⩾p2, 10λ>0 est un paramètre. Par des techniques de la théorie de Morse dans le cadre des espaces de Banach, un démontre l'existence de λ∗>0λ∗>0 tel que, pour tout λ∈(0,λ∗)λ∈(0,λ∗), (Pλ)(Pλ) possède au moins P1(Ω)P1(Ω) solutions, considerées avec leur multiplicité, où P1(Ω)P1(Ω) est le polynôme de Poincaré de Ω  . En outre, pour p⩾2p⩾2, on démontre que, pour tout λ∈(0,λ∗)λ∈(0,λ∗), il existe une suite de problèmes quasi-linéaires qui approchent (Pλ)(Pλ), chacun desquels a au moins P1(Ω)P1(Ω) solutions positives différentes.