Effective transmission conditions for Hamilton–Jacobi equations defined on two domains separated by an oscillatory interface

We consider a family of optimal control problems in the plane with dynamics and running costs possibly discontinuous across an oscillatory interface ΓεΓε. The oscillations of the interface have small period and amplitude, both of the order of ε  , and the interfaces ΓεΓε tend to a straight line Γ. We study the asymptotic behavior as ε→0ε→0. We prove that the value function tends to the solution of Hamilton–Jacobi equations in the two half-planes limited by Γ, with an effective transmission condition on Γ keeping track of the oscillations of ΓεΓε.

RésuméOn considère une famille de problèmes de contrôle optimal dans le plan, avec des dynamiques et des coûts instantannés discontinus à la traversée d'une interface oscillante ΓεΓε. Les oscillations de l'interface sont périodiques, et leur amplitude et période sont de l'ordre de ε, où ε est un petit paramètre. Quand ε   tend vers 0, ΓεΓε tend vers une droite Γ. On étudie le comportement asymptotique de la fonction valeur du problème. On démontre que cette dernière tend vers la solution d'une équation de Hamilton–Jacobi posée dans les deux demi-plans séparés par Γ, avec une condition de transmission effective sur Γ dont le hamiltonien garde une trace des oscillations évanescentes.