An effective Hamiltonian for the eigenvalue asymptotics of the Robin Laplacian with a large parameter

We consider the Laplacian on a class of smooth domains Ω⊂RνΩ⊂Rν, ν≥2ν≥2, with attractive Robin boundary conditions:QαΩu=−Δu,∂u∂n=αu on ∂Ω,α>0, where n   is the outer unit normal, and study the asymptotics of its eigenvalues Ej(QαΩ) as well as some other spectral properties for α   tending to +∞. We work with both compact domains and non-compact ones with a suitable behavior at infinity. For domains with compact C2C2 boundaries we show that, for each fixed j,Ej(QαΩ)=−α2+μj(α)+O(log⁡α), where μj(α)μj(α) is the j  th eigenvalue of the operator −ΔS−(ν−1)αH−ΔS−(ν−1)αH with (−ΔS)(−ΔS) and H being respectively the positive Laplace–Beltrami operator and the mean curvature on ∂Ω. Analogous results are obtained for a class of domains with non-compact boundaries. In particular, we discuss the existence of eigenvalues for non-compact domains and the existence of spectral gaps for periodic domains. We also show that the remainder estimate can be improved under stronger regularity assumptions.The effective Hamiltonian −ΔS−(ν−1)αH−ΔS−(ν−1)αH enters the framework of semi-classical Schrödinger operators on manifolds, and we provide the asymptotics of its eigenvalues for large α   under various geometric assumptions. In particular, we describe several cases for which our asymptotics provides gaps between the eigenvalues of QαΩ for large α.

RésuméOn considère le laplacien sur une classe de domaines réguliers Ω⊂RνΩ⊂Rν, ν≥2ν≥2, avec conditions de Robin attractives :QαΩu=−Δu,∂u∂n=αu sur ∂Ω,α>0, où n   est la normale unitaire sortante, et on étudie le comportement de ses valeurs propres Ej(QαΩ) ainsi que d'autres propriétés spectrales lorsque α   tend vers +∞. On considère des domaines soit compacts, soit non-compacts avec un comportement convenable à l'infini. Pour les domaines C2C2 dont le bord est compact, on démontre que pour tout j fixé on aEj(QαΩ)=−α2+μj(α)+O(log⁡α), où μj(α)μj(α) est la j  ème valeur propre de l'opérateur −ΔS−(ν−1)αH−ΔS−(ν−1)αH, où (−ΔS)(−ΔS) et H sont respectivement l'opérateur de Laplace–Beltrami positif et la courbure moyenne sur ∂Ω. Des résultats analogues sont obtenus pour une classe de domaines à bord non-compact. En particulier, on étudie l'existence de valeurs propres pour une classe de domaines noncompacts ainsi que l'existence de trous spectraux pour des domaines périodiques. On montre également que l'estimée du reste peut être améliorée sous des hypothèses de régularité plus fortes.Le hamiltonien effectif −ΔS−(ν−1)αH−ΔS−(ν−1)αH entre dans le cadre des opérateurs de Schrödinger semi-classiques sur des variétés, et on décrit l'asymptotique de ses valeurs propres lorsque α→+∞α→+∞ pour diverses hypothèses géométriques. En particulier, on dérive des cas pour lequels notre asymptotique donne l'existence de trous entre les valeurs propres de QαΩ pour α suffisamment grand.