Continued proportions and Tartaglia's solution of cubic equations

We analyze Tartaglia's account, in 1546, of the circumstances leading to his breakthrough regarding the solution of cubic equations. He claims that he solved x3+rx2=qx3+rx2=q in 1530, well before he could handle, in 1535, equations with a linear term px (and no quadratic term). This claim is at variance with Cardano's narrative as well as with later treatments of the problem, in which the solution of equations of the latter type provides the basis for the solution of all the other types of cubic equations. We show that Tartaglia's claim is supported in his text by the use of the theory of continued proportions, that occurs as a Leitmotiv. We show that relations on continued proportions stressed by Pacioli as basic “keys” provide a simple derivation of the results given by Tartaglia, that is consistent with their chronological order. Thus, his narrative contains not only priority claims, but also proposes an account of the mathematical steps that led him to his results.

RésuméOn analyse le récit que fait Tartaglia, en 1546, des circonstances qui l'ont conduit à sa découverte du mode de résolution de certaines équations du troisième degré. Il y affirme avoir résolu l'équation x3+rx2=qx3+rx2=q dès 1530, bien avant qu'il fût en mesure d'aborder les équations avec un terme px (et sans terme carré). Ceci est incompatible avec le mode de résolution de Cardan, ainsi qu'avec ceux préconisés par les auteurs postérieurs, pour qui la solution de ces dernières équations fournit la base de celle de toutes les autres équations de degré trois. On montre que la théorie des proportions continuées tient une place centrale dans le texte de Tartaglia et que, si l'on part des “clefs” que Pacioli désigne comme des outils fondamentaux, on obtient une dérivation très simple des résultats de Tartaglia, dans l'ordre de leur découverte. Son récit vise donc non seulement à établir sa priorité, mais également à suggérer la démarche qui l'a conduit à ses résultats.