On the continuous resonant equation for NLS. I. Deterministic analysis

On étudie l'équation continue résonante (CR) qui a été obtenue dans [8] comme limite d'une équation de Schrödinger cubique faiblement non linéaire (ou à petites données). On commence par montrer que ce modèle est naturel puisqu'il correspond aussi à la partie résonante de l'équation d'Hermite-Schrödinger. On montre alors que la base des fonctions spéciales d'Hermite est bien adaptée à son analyse et permet de comprendre certains aspects étonnants de l'équation. On étudie certaines dynamiques particulières de l'équation sur des espaces invariants : espaces propres de l'oscillateur harmonique et de l'opérateur des rotations, espace de Bargmann-Fock. Enfin on s'intéresse aux solutions stationnaires et à leur stabilité.