Harmonic functions with finite p-energy on lamplighter graphs are constant

Le but de cette note est de montrer que plusieurs graphes d'allumeurs de réverbères, où le graphe d'espace est infini avec au plus deux bouts et le graphe des lampes a au plus deux bouts, ne possèdent pas de fonction harmonique non constante à gradient ℓp (i.e. une p-energie finie) qu'importe le p∈[1,∞[ (et, de manière équivalente, que leur cohomologie ℓp réduite est triviale en degré un). Des arguments similaires permettent aussi de conclure pour plusieurs produits directs de graphes (y compris tous les graphes de Cayley). Les démonstrations reposent sur un théorème de Thomassen [16] sur les lignes couvrantes dans le carré des graphes.