On two problems of Ljujić and Nathanson

Soit N l'ensemble des entiers positifs ou nul. Pour A,M⊂N∖{0} et n∈N, notons p(n,A,M) le nombre de représentations de n sous la forme n=∑a∈Amaa, avec ma∈M∪{0} pour tout a∈A. Récemment, utilisant une méthode probabiliste, Alon a répondu positivement à deux questions de Ljujić et Nathanson. Il a montré que, pour A={n!}n≥1 ou A={nn}n≥1, il existe n0 et un ensemble infini M d'entiers positifs tel que 0n0. Dans cette Note, par une construction explicite et comme corollaire de notre résultat principal, nous montrons que, pour A={n!}n≥1 ou A={nn}n≥1, il existe un ensemble infini explicite M d'entiers positifs tel que 0