Symmetry results for solutions of equations involving zero-order operators

Soit Iϵ[u](x)=∫RNu(y)−u(x)ϵN+2σ+|y−x|N+2σdy, avec ϵ>0 et σ∈(0,1), un opérateur non local d'ordre zéro qui approche le laplacien fractionnaire lorsque ϵ tend vers 0. Nous étudions dans cette Note les symétries des solutions de l'équation (E) : −Iϵ[u]=f(u) dans la boule unité ouverte B1 avec la condition u=0 sur le complémentaire de la boule unité fermée. Nous observons que les propriétés de symétrie dépendent de la constante de Lipschitz de f. Lorsque cette constante de Lipschitz est majorée par CN,σϵ−2σ, toute solution u∈C(B¯1) de (E) satisfaisant u>c dans B1 et u=c sur le bord ∂B1 est radialement symétrique.